質數四論
第壹章 Excel執行卅行表的質數生成法
提要
本文主旨是使用Excel產生质數的方法，經過二次篩選，初次篩選使用連續正整數的30行表刪除22個合數行，剩餘8行質數欄。進階篩選使用"欄与列的連續質數乘積表"以Excel程式執行，和"質數欄"數字交叉比對，刪除重复項，剩餘的數就是質數。
【第壹節】 四種質數生成法的比較
目前數學界可以產生完整的連續质數方法主要有以下四種。第一、二种方法有嚴重缺點所以本文不在討論范圍，第三种方法已經有了應用也不在本文討論范圍，本文討論第四种方法，有發展潛力的優秀方法。
〔第一種〕：質數常數2.92005. . . 的演算法。根據次元空間理論/質數三論/質數常數 一文的說法，質數常數2.920050977316135可以推算出≦97的25個連續質數，缺點是有效范圍太窄，質數常數本身亦嫌冗長。
〔第二種〕：黎曼函數。黎曼函數可以準確預测质數，但是它是一種艱深難懂的數學公式，千禧年設立的百萬美元獎金已經過去廿幾年了還是沒有人能夠證明。筆者看法，能否證明尚在其次，重點是方法要簡潔，雖然可以準確預測但是問題是計算方法複雜又迂迴，設定滿足公式的兩個參數曲線，再由兩條曲線交叉節點的座標數值判斷質每個二次合數數，效率太低，這才是他的真正缺點。根據"奧坎剃刀法則"，簡單的理論比複雜的更好，因為它們更容易檢驗。複雜難懂正是黎曼函數的缺點。
〔第三種〕：使用電腦設計應用程式python。電腦程式設計使用的方法是改良式埃托拉斯運算法，有借助電腦強大的運算能力可以彌補埃托拉斯運算法的缺點。太大的質數很容易超出電腦运算能力的極限。
〔第四種〕：質數卅行表。質數卅行表是一种高效率質數篩選法，根據次元空間理論/質數三論/第貳節 質數平均次元/表格 質數篩選效率偶行表和質數卅行表 顯示質數卅行表的篩選效率2.75(質數欄數/合數欄數的比值)是質數偶行表中的最高數值。總結卅行表有以下5項優點：
(1).篩選效率最高。
(2).卅行表每欄數值的尾數一致，因為30是十的倍數。
(3).https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization "模數30的車輪因式分解"其實和筆者"質數卅行表"理念完全一致，僅是表格圓形和方形的差異。
(4).30=2×3×5，30恰好是前三個質數的乘積。同理，6=2×3，6是前兩個質數的乘積，質數六行表是6n±1的質數篩選法，可以初步篩選質數。階乘符號！是質數公式常用的符號，6等同於質數的3!，30是質數的5!，30在分維表是+3/-5維的數，根據次元空間理論/質數三論/第貳節 質數平均次元的主張，質數顯示的平均次元是+3/-5性質，所以30是和質數密切相關的數值。
(5).質數卅行表比質數十八行表更能夠顯示合數的解理規律，卅行表如下圖：
每個質數行的二次合數都是兩條直線的交會點，每條直線分別代表一個質數，同樣顏色的直線保特平行，行的間距=該質數的數值。除了含有因數11的合數它的解理是長方形排列以外，其他的質數導引的直線形排列都是平行直線。若忽略2、3、5這三個特殊質數，那麼其他的二次合數都能以合數解理來表示，也就是質數卅行表的質數襯托的合數解理，類似晶格构造的晶格紋路。
卅行表29可以畫出一條直線貫穿203、319、377、493、551，但是因為29意味著行的間距是29列，這麼寬的平行線間距超出表格設限范圍所以只能畫一條直線，一條直線不容易看出它的周期性乾脆省略。卅行表的7代表的直線是淺紫色，7是第一列數字，同行第八列的217出現含7的因數，同行再出現含7的因數是427，它是第十五列，列數是1、8、15，差7的等差級數。
若是十八行表，7的代表直線是淺灰色虛線，兩條平行虛線的間距是3.5列，3.5是7的1/2，所以同行虛線之間既有7的列間距，也有3.5的列間距，和卅行表7的同行列間距僅7一种兩相比較，卅行表是比較优秀，而且卅行表其他質數11、13、17、19、23. . .也帶出和它等值的列間距可以認為是第5項優點的重點。
質數生成法採用的質數n行表可以是六的倍數多种可能，筆者唯獨推薦卅行表作為質數生成法的主要依據正是因為卅行表有上述五大優點的緣故。
質數卅行表仍然有少部分的二次合數例如49、77、91、119. . . 它們是隱藏在質數行的少數合數，使質數篩選工作蒙上一層陰影，筆者認為卅行表确已為質數篩選善盡職責，因為典型的合數不妨認為是三种以上的質數乘積，質數行的合數幾乎全部都是兩种質數的乘積，也是兩條直線的交會點，事實証明卅行表篩選的質數已經過濾了三次的典型合數，二次合數可視為介於典型合數和質數的中間型態所以篩選能力力所未逮，因此卅行表的質數欄僅是初步篩選的質數，有必要做二次篩選才能達到全部是質數的目標。藉助卅行表的初步功勞，二次篩選即可達標，無需第三次。
以下是510以內的質數30行表，質數以粗体黑字表示，質數行的合數以淺灰色字体表示。
筆者觀點，第四种方法 Excel執行卅行表的質數生成法和第三种方法 電腦程式語言，兩种方法可以結合，因為運算方法更簡潔，可以提昇電腦的質數運算能力，算出更大的質數，方便密碼學的運用。
【第貳節】Excel執行卅行表的質數生成法六個步驟
〔步驟一〕
上述表格八欄數值建檔方法如下：
Excl左上角A1格輸入7，A2輸入37，圈選這兩個儲存格，往下拉動右下角小方塊，拉到第17列停止則出現7~487等17個等差是30的數字。方法參考https://www.youtube.com/watch?v=VCf21pEOJnA
上述表格是30欄，質數僅有8欄，為方便後續篩選，此8欄一律縮減成單欄。上段產生等差數字序列的方法可以在A欄單欄執行，無需換行。還有1,2,3,5四個數字比較特殊，1是質數列也是質數欄的數字，但是它不是質數。2, 3, 5是合數欄的數字但是它們是質數，少數的例外可以事後彌補，一般理論通常有它的侷限性，太小的質數超出理論要求的理想條件所以不适用。
上述表格所有質數欄的數值以單欄呈現建檔儲存，如下方兩張圖表：
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〔步驟二〕
卅行表質數欄有淺灰色字体的是二次合數，又名半質數、假質數或二次殆質數，已知二次合數是兩個質數的乘積，据此可以推測它的數值范圍應在連續質數行和連續質數列乘積的數值范圍，已知某數質因數的判斷僅需考慮該數＜平方根的質數，√510=22.6，因此質數行僅需考慮≦19的質數，質數30行表尾數是2、3、4、5、6的數值屬於合數行，故質數行的連續質數是7、11、13、17、19五數。
質數列的連續質數推測是＜510/7的連續質數，510/7 =72.86，連續質數應是7~71等十七個質數。7~19五個連續質數和7~71十七個連續質數的所有乘積組合可以使用Excel 執行。
以下討論使用Excel找出欄与列的連續質數乘積的方法，首先詢問AI 創建一個表格，儲存格A1留白，A2填7，A3填11，A4填13，B1填7，C1填11，D1填13，其餘儲存格是縱向數字和橫向數字的積要怎麼做？
AI 給出答案，把縱橫數字列出以後在B2欄位輸入公式"=$A2*B$1"，如圖示：
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B2輸入公式=$A2*B$1/按Enter則出現49,拉動填充柄向右拖動到F2(表格3×3擴充為5×17故拖動止點D2改為F2) 如下圖：
選中B2:F2區域,向下拖動到F18(表格3×3擴充為5×17故拖動止點D4改為F18) 如下圖：
〔步驟三〕
滑鼠圈選B2: F18的數字在空白處建立表格，一共是五欄數字，圈選右邊兩欄，鼠標放邊框上緣待出現十字箭頭時拖動框內數字貼在AB欄下方/再圈選C欄同樣方式拖動貼在A欄下方/如法泡制又圈選B欄貼在A欄下方(五欄合併成單欄)。如下圖：
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〔步驟四〕
插入/表格/再點擊標題欄1儲存格右邊的三角形按鈕/下拉選單/按小而大順序排列。517~1349等35個數值＞510應刪除。如下圖：
〔步驟五〕
复制剩餘的二次合數貼在已經整理好的"步驟一"建檔的資料"欄A" 138個下方，點擊A欄(總數138+50=178個數值)/插入/表格/再點擊欄1標題右方有箭頭和三角形的儲存格/下拉選單按從最小到最大排列/常用/條件格式設定/醒目提示儲存格規則/重复的值。如圖示：
點擊重复的值/對話方塊按确定則出現如下圖示：
〔步驟六〕
點擊標題欄1右方有箭頭和三角形的儲存格/下拉選單選擇按儲存格顏色排序。重复的儲存格是淺紅底深紅字体會排在序列上方，如圖示：
重复儲存格圈選/刪除 則剩餘的數字是＜510的質數，例外的情況是2、3、5三個質數需額外添加，343=7³，343是三次數，三次合數已經超出二次合數的范圍因此未能過濾，7又是卅行表質數欄的最小質數，所以未能過濾可以理解，採用相同模式，下一個未能過濾的合數應是1331，因為1331=11³。
ℚ₁. 本文討論＜510的質數生成法，那麼其他數值以下的質數生成法又該如何求取？
𝔸₁. 假定是討論＜900的質數生成法，同樣使用卅行表建立30列，原則上會產生八欄質數但是實際上是八欄質數在單欄作八次處理。二次合數取900/7=128.6設定7~127等28個連續質數作為A欄(縱向)的質數單元，A1儲存格淨空；√900=30，設定7~ 29等七個質數為第1列(橫向)的質數單元，A1儲存格淨空。B 2儲存格輸入公式 =$A2* B$1 依循步驟二~六同樣模式操作，相同模式适用任何＜某個數值的質數生成法。
ℚ₂. Excel執行卅行表的質數生成法使用欄与列的連續質數乘積表，問題是如何舉証欄与列的連續質數乘積表採用數值是最簡約的數值？
𝔸₂.若非最簡約數值一樣可以達到正确的計算結果，但是有浪費資源，多餘動作的缺點，証明方法是列出欄与列的連續質數乘積表所有數值，它與卅行表二次合數整理的欄列乘積表格比較，觀察兩者是否符合，前者>後者是多餘，前者<後者是不足。五欄十七列連續質數的積如下圖表格所示：
紅色字体40個，是質數欄的二次合數，卅行表質數欄的二次合數也是40個，另一個例外是343，它是三次合數。黃棕色字体10個是和紅字有重复的數字，綠色字体35個是表格范圍以內>510的數值。紅色字体欄的高峰及於19，列的高峰及於71，若是過剩則紅色字体欄的高峰未及於19，或列的高峰未及於71，若是不足則理論推算結果與質數排列不符，事實上理論推算結果與質數排列符合，表示欄与列的連續質數乘積表採用數值是最簡約的數值，方法正确，沒有過剩或不足的現象。
第貳章 質數平均次元
ℚ₁. 若說差6是-5維，顯然質數還有孿生質數差2和差4的情形又該如何解釋呢？
𝔸₁. 質數六行表同列數字若有兩個質數，第一和第五行的質數排序差4，質數也有排序差8的情形，差8並未超出八冪律一個次元循環周期的范圍故為有效差值，例如5+ 8=13，11-8=3，11+8=19，13-8=5，19-8=11，23+8=31. . . . 差4和差8的平均差值6，差6是-5維，符合理論次元。
又孿生質數差2的排序如何解釋呢？因為+1維 ±0維 ＜-1維＞ -2維 -3維 五种次元的中間值是-1維，質數有+1和-3維的雙重性質，兩种次元的平均值便是-1維，而且從四和共生法則的觀點，質數是+3/-5維，+3維的四和共生次元是-1維；逆向思考，+1維 +2維 ＜+3維＞ +4維 +5維，+1維和+5/-3維的平均次元也是+3維。
ℚ₂. 還有一個問題，2和3這兩個質數不遵守六行表的規律又該當如何解釋？
𝔸₂. 因為3- 2= 1，從等差法則的觀點，差1是-0維，-0和-5維的平均次元+3維，或說+3/-5維的三角共生次元是-0維，+3/-5維是質數的次元屬性，故-0維如影隨形和質數有關，這樣可以解釋為何2和3是質數，不遵守六行表的規律性。
根据次元空間理論/物理篇/電荷和磁場的次元屬性 一文的說法，電荷是-0維，磁場是-5維，質量和物質是+3維，依負維法則，正次元是极大值，+3維表示体積龐大的物質例如太陽、木星，星球磁場強度和它的体積有正變關係，因為+3/-5維是八和共生關係。
筆者作了一下統計，統計內容繁多不便贅述，簡要言之，質數30行表是質數70行表以內篩選效率最高的，達到2.75，奇數行表篩選效率极低無討論价值。篩選效率=合數行數/質數行數，30行表篩選效率= 22/8= 2.75，雖然2、3、5是質數，但是第2、3、5行當作合數行，因為該行只有一個質數。今將十九种偶行質數篩選效率列表說明如下：
上表質數篩選效率前四名的偶行表，它的行數都是6的倍數，從等分法則的觀點，差6和六倍同樣屬於-5維，因此質數是+3/ - 5維的說法又增添了一項証据，因為質數屬於+3/-5維，∴行數是6的倍數者有較高篩選效率。
為何30行表有最高篩選效率呢？原來30在分維表是+3/-5維的數，它又是6的倍數行數，∴+3/-5維特性特別顯著。14、22雖然是分維表+3/-5維的數但因不是6的倍數故篩選效率不高。
70的篩選效率1. 917排名第五，雖然它不是6的倍數但是它是分維表+3/-5維的數，再方面，70³=343000，000343=07³∴70是-3維的數，70的反序數√7=2. 646，此數在根維表是+2維的數，因為是反序數計算的結果應屬-2維。70²=4900，反序數√94=9.695在根維表是+3/-5維的數，因-2和-3維的平均次元+3維，+3/-2維又有五和共生關係，這樣可以解釋70行表為何篩選效率高。
結論 質數的次元屬性+3/-5維，∴行數是6的倍數者有較高篩選效率。30在分維表是+3/-5維的數，它又是6的倍數行數，故其+3/-5維特性特別顯著，因此30行表有最高篩選效率。
第參章 質數常數
筆者曾經撰寫一篇論文〈質數的次元屬性〉〔參考冪空間理論/數學篇/質數的次元屬性〕，最近看到优吐影片有質數生成常數(以下簡稱質數常數)的報告，覺得很讚，是真正的質數生成公式，不會漏失任何一個質數，提供以下网址和讀者分享，並且依據質數常數和對質數的次元屬性之認識發展出新的質數觀，所謂質數新觀點就是本文討論主題。
https://www.youtube.com/watch?v=_gCKX6VmvmU
影片介紹的質數常數2.920050977316只計算前五個質數，筆者繼續影片中的質數常數驗算，驗算以後發覺該常數僅在≦37的質數成立，質數41的推算值是40.05145996996整數40与質數41差1。使用反推法必須設定最後質數的小數值，質數97和緊臨質數101的差4，附近質數差4者有83-79=4，71-67=4兩組，79×1.05156. . . =83.07337. . . 和67×1.06013. . . =71. 02933，取倍數1.05156. . . 和1.06013. . . 的平均值≒1.05585，故反推法從97.05585開始。
反推法第一條等式：89×1.090515168539326=97.05585 第二等式：83×1.073379700825775=89.090515168539326，表格繁复故以下從略。計算的結果，理想質數常數值≒2.920050977316135，比原常數小數點位數多了三位數，推算的有效質數是≦97比原常數多了13個，可是根据反推法得到的常數正向計算的結果，有效質數是≦67，只比原常數多7個。
因為反推法使用除法，正向計算使用乘法，正向計算比原數大了數十倍，擠掉最後兩位小數，因此產生些微誤差影響計算結果。正向計算第十等式相當於29×1.07. . . =31.19. . . 的質數計算式以後開始出現小數點末兩位數和反推法的值有偏差，偏差逐漸累積的結果導致67×1.29. . . 的等式失誤。這种計算要求的精確度很高，必需使用16位數以上的計算機。以下是計算過程：
質數生成常數
質數常數2.920050977316135取小數位0.92. . . +1=1.92. . .
取整數2×1.920050977316135=3.840101954632269取小數位0.84. . . +1=1.84. . .
取整數3×1.840101954632269=5.520305863896808取小數位0.52. . . +1=1.52. . .
取整數5×1.520305863896808=7.601529319484041 取小數位0.60. . . +1=1.60. . .
取整數7×1.601529319484041=11.21070523638829取小數位0.21. . . +1=1.21. . .
取整數11×1.21070523638829=13.317757600271185取小數位0.31. . . +1=1.31. . .
取整數13×1.317757600271185=17.130848803525404取小數位0.13. . . +1=1.13 . . .
取整數17×1.130848803525404=19.22442965993187取小數位0.22. . . +1=1.22. . .
取整數19×1.22442965993187=23.264163538705537取小數位0.26. . . +1=1.26. . .
取整數23×1.264163538705537=29.075761390227354取小數位0.07. . . +1=1.07. . .
取整數29×1.075761390227354=31.19708031659327取小數位0.19. . . +1=1.19. . .
取整數31×1.19708031659327=37.10948981439125取小數位0.08. . . +1=1.08. . .
取整數37×1.10948981439125=41.05112313247625取小數位0.05. . . +1=1.05. . .
取整數41×1.05112313247625=43.09604843152625取小數位0.09. . . +1=1.09. . .
取整數43×1.09604843152625=47.13008255562875取小數位0.13. . . +1=1.13. . .
取整數47×1.13008255562875=53.11388011455125取小數位0.11. . . +1=1.11. . .
取整數53×1.11388011455125=59.03564607121625取小數位0.03. . . +1=1.03. . .
取整數59×1.03564607121625=61.10311820175875取小數位0.10. . . +1=1.10. . .
取整數61×1.10311820175875=67.29021030728375取小數位0.29. . . +1=1.29. . .
取整數67×1.29021030728375=86.44409058801125(失誤)
參考資料：https://www.youtube.com/watch?v=_gCKX6VmvmU
影片介紹的質數常數2.920050977316只計算前五個質數,筆者繼續影片中的
質數常數驗算,驗算以後發覺該常數僅在≦37的質數成立,故使用反推法計算
得到更精確的質數常數2.920050977316135,驗算結果在≦67的質數成立。
質數常數計算到一定限度會開始出現失誤，可能和常數取用的小數點位數有關，質數常數小數點位數和可推算質數數目有正變關係，後續的預測若要準确必須使用更精確更多的小數點位數和更強大更多位數的計算機。
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質數常數小數點位數和可推算質數數目之正變關係表 |
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質數常數 |
小數點後位數 |
可推算的質數數目 |
可推算的質數 |
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2.92 |
2 |
6 |
≦13 |
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2.92005 |
5 |
7 |
≦17 |
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2.920050977 |
9 |
11 |
≦31 |
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2.920050977316 |
12 |
12 |
≦37 |
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2.920050977316135 |
15 |
19 |
≦67 |
根据第I章<質數的次元屬性>一文的說法，質數的次元屬性是+3/-1維，+3維是固態例如類地行星，從負維法則的觀點，負(正)次元是很小(极大)值，+3維也可以解釋為很大的体積，例如太陽，+3維的八和共生次元-5維，從共构法則的觀點，-5維是籠球复層結构，從負冪徑法則觀點，-5維是体積最大的結构，体積最大的籠球复層結构符合太陽构造特徵，据此推想，質數生成常數2.9200. . . (以下簡約為2.92) 應屬日家族和類地行星的常數。
質數常數2.920050977316135小數點第三、四位數是00，這是明顯的斷層，2.92可推算的最大質數是13，質數三論/第肆節 日系成員質數代號/巳目 13是小行星質數代號，11是火星代號、7是地球代號、5是金星代號、3是水星代號、2是太陽代號，太陽和類地行星屬於日家族成員，次元屬性+3/-5維，太陽籠球复層結构是-5維，類地行星是岩石表面+3維特性，恰好質數的次元屬性是-5維，與日家族的次元符合，所以質數常數2.92和它的斷層适當地表達它與日家族的相關性。
質數常數2.920050977316135小數點第六位數又是0，第二個斷層，故2.92005應該也有類似質數的次元屬性，2.92005可推算的最大質數是17，17是木星代號，木星有行星最強的磁場，輻射的能量是從太陽吸收能量的1.67倍，像是一顆侏儒恆星，木星推測至少有固態核心、液態外核、气態大气層等三層結构，屬於籠球复層結构，木星磁場的存在可以支持該假設，因為根据地球磁潮說，磁場是外核的對流運動產生的。
依天体與人体之異同的說法，木星系統對應的人体器官是胸部和四肢骨骼，主帶小行星對應下半身的脊椎骨和盆骨，因為小行星和木星都是+3維的特性，可能因為日距較遠，在雪線以外的緣故，雪線以內的日家族只是平均次元+3維，個別次元並非+3維特性所以和骨骼無關〔泛日家族個別次元參考: 本文第肆節 日系成員質數代號/甲項 內圈行星/午目 泛日家族次元表〕。
+3/-1維有四和共生關係，例如固体通常是晶体形式，晶体具有鏡像對稱性或左右對稱性就是屬於一維對稱-1維，從等分法則的觀點，十倍或1/10是-1維，故質數常數2.92 可以29.2或0.292看待，29.2在內行星並不陌生，例如：
質數衍生常數
0.292 (0.708) =陸地(海洋)面積/地球表面積
0.293 r(=1-1/√2) Wobbly Circles-Numberphile常數
0.2948日(木衛內始第一顆墨提斯公轉周期)
29.2≒29.53(月球盈虧周期日數)
29.2×2=58.4≒58.65(水星自轉周期日數)
29.2×3=87.6≒88(水星公轉周期日數)
29.2×4=116.8≒116.74 (金星太陽日天數)
29.2×6=175.2≒176(水星太陽日天數)
2.92×2=5.84≒5.87(海衛崔頓公轉周期日數)
2.92×200=584(金星、地球會合周期日數)
質數的次元屬性+3/-5維,+3/-1維有四和共生(逆均)次
元關係,-1維是十進位故質數常數2.92 可以29.2或
0.292看待,以上舉例子說明。
https://www.youtube.com/watch?v=OEMA6jhi5Qo Wobbly Circles - Numberphile常數10 : 46
墨提斯是木衛內始第一顆，公轉周期0.2948日，第二顆公轉周期0.2983日，兩顆是木星主環外緣的一對衛星，兩顆是同心圓軌道兩個一組的對稱性從負維法則的觀點是-2維，任意數a⁰=1，故排序1是±0維的數，±0維和-2維的平均次元-1維，木衛對應上肢骨，骨骼堅硬特質是+3維，+3/-1維符合質數次元故與質數常數有關。
崔頓是海王星內始第八顆衛星，∛8=2恰為整數，故8是+3維的數，崔頓公轉周期5.8768日×10=58.768日≒58.65日(水星自轉周期)，十倍關係是-1維，+3/-1維符合質數次元故與質數常數有關。分維表和根維表8都是+1維的數，+1維亦符合質數次元，因為它是-0和-1維的平均次元，-1維是崔頓所擁有，-0維是崔頓大小在行星級負冪徑法則的次元，+1維和-0維都是質數的特性，表示不可分割的數字，故崔頓周期的質數相關常數可以理解。
相信2.92不僅是質數常數也是內行星常數，因此出現許多數字上的吻合，多項吻合已經不算巧合，根本原因應該解釋為質數與行星尤其是內行星有關。
筆者觀點，一個可以符合前十九個質數的質數生成公式已經夠用，質數變大則數所以在此介紹，為避免重复故不重复張貼，數常數小數點位數激增也是一种缺陷。"質數常數小數點位數和可推算質數數目之正變關係表"可以舉証上述事實，故質數變大時困難度和繁复性是激增的。一套理論通常有它的适用范圍限制，僅在某些理想狀態下符合理論要求，這裏的理想狀態就是數目不大的前面几個質數，質數的+3/-1維屬性正好符合內行星的次元，內行星就是排序前幾名的行星，對應前几個質數。
既然質數與行星有關，可賦予太陽系各大行星成員一個質數代號：太陽2、水星3、金星5、地球7、火星11、小行星帶13、木星17、土星19、天王星23、海王星29、冥王星31、鬩神星37、賽德娜41。
第肆章 典型質數及其應用
【第壹節】典型質數
本章內容引用次元空間理論/物理篇/十七個特別不穩定同位素的弱力次元解釋/第壹章 典型質數 一文，該章有以下五節：(一)殿級質數54個 (二)季級質數24個 (三)次級質數7個[3,7,13,17,23,37,113] (四)頂級質數2個[3和7] (五)頂級弱力偶常數6和次級弱力偶常數28。本章是質數的應用篇故論述內容在"十七個然同位素的弱力次元解釋"一文再重复，該文第壹章五節有四節討論它。"十七個然同位素的弱力次元解釋"一文已在痞客邦和方格子投稿未能發表，尚待另闢途徑發表。
鎝、鉕、砈、鍅是四個原子序數比鈾少的人造元素，鎝、鉕是同行的人造元素，鎝、鉕、砈、鍅是出現在穩定元素群中的人造元素，既突兀又特殊的現象，其中必有貓膩，有目前學術界無法解釋的道理，本文要討論的主題是對於上述人造元素的成因提出解釋方案。
原子序奇數較之原子序數偶數的元素不穩定，此一事實可以和"2除外的所有質數皆為奇數"結合，亦即質數有奇數的傾向，奇數原子序又有同位素不穩定的趨勢，因此質數理應屬於不穩定元素的類型，不穩定元素是和弱力等衰變相關的性質，据此推想弱力元素可能和質數數理有關。
根據質數三論/質數的次元屬性 一文的主張，質數表現的平均次元是+3/-5，+3/-5正好是弱力次元，因此弱力可能和質數有密切關係，元素的主要同位素呈現不穩定應該是弱力使然，原因可能是數理因素。過去筆者認為原子序數比鈾少的天然衰變同位素所以存在是和質數集結現象有關，後來發現這种看法方向沒錯但是目標籠統不得要領，有更精簡的理論就是質數條件嚴格化，為了配合理論需要，更接近事實，筆者假定質數有它的典型狀態，Z<92的天然衰變同位素所以存在是和高級質數有關，高級質數必須同時滿足以下多種狀態：
(一) 殿級質數54個：
號數變大的情況，相鄰質數之間的距离逐漸拉大，換言之，質數有低號數集中的現象，而且它的變化有規律可循，質數定理便是描述這种特質。例如2是最小質數，也是唯一偶數質數，它与相鄰質數3之間的落差1是最小值，此現象可以解釋為典型質數的一種偏好，因此典型質數通常僅須考慮252以內的質數，因為周期表元素肉眼可以識別的可製備量下限是質量數252的鑀，鑀的原子序數99恰好也是兩位數的上限，號數愈小的數值使用頻率愈高，它的重要性理應遞增，這是質數遵守"班佛定律"的証据。質數遵守班佛定律另一個証据是梅森質數，梅森質數在質數群中的分布情形，如圖示：
紅色字体是梅森質數的n值，黑色字体是質數。質數原本就有低號數比較密集的現象，梅森質數也有類似現象，而且低號數集中的現象呈指數級的放大。筆者看法，梅森質數顯示的特質並非偶然，而是有它的重要地位，次元空間理論/數學篇/梅森和費馬質數的整合 一文有關於兩種質數在空間次元八冪律中的互補角色之描述。梅森質數2ⁿ-1，差1從等差法則觀點是 -0維，-0是+3/-5的三角共生次元，+3/-5是質數的次元屬性，因此梅森質數多少已經說中了質數的某些特質。
(二) 季級質數24個
關於"可截短質數"有左可截短質數、右可截短質數、左右可截短質數三种，< 252的左可截短質數一般認為有 2, 3, 5, 7 ,13, 17,43, 47, 67, 83, 97, 113,137,167,173,197,223等17個，但是筆者認為一位數的2, 3, 5, 7應表示為02, 03, 05, 07，02, 03, 05, 07可認為是左可截質數，故左可截質數還是17個，但是一位數以02, 03, 05, 07取代。<252的右可截短質數一般認為有2, 3, 5, 7 ,29, 31, 59,71,79, 233, 239等11個，筆者認為一位數字不具備可截條件，2, 3, 5, 7若化為兩位數02, 03, 05, 07亦非右可截質數，故< 252的右可截短質數僅有29, 31, 59,71,79, 233, 239等7個，< 252的左右可截短質數有23,37,53,73等4個，17+7+4=28總數28個。
按照反質數的定義，質數的反序數也是質數，那麼基於不重复的原則只能二選一，依典型質數偏愛小號的原則認為小號的反質數方具備交換質數的資格，因此(13,31)、(17,71)、(37,73)、(79,97)此四對交換質數僅取13、17、37和79，故二級質數28-4=24剩24個，包括02, 03, 05, 07, 13, 17, 23, 29, 37, 43, 47, 53, 59, 67,79, 83, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 233, 239 等24個。
(三) 次級質數7個：
"質數六行表"在 次元空間理論/數學篇/質數三論/第二節 質數次元屬性 一文已經討論過，大意是質數有6的周期性，因此六行表的質數篩選效率達到2，是次高的，卅行表的質數篩選效率達到2.75最高，但是從短周期和高篩選效率的雙重標準而言，6是質數的最相關數字，因為分維表6和30屬於+3/-5維的數，符合質數平均次元。性感質數(又名六質數)就是排序差6的質數。
以下是24個二級質數在表格中註明九种質數的典型程度得分和積分表：
說明：
1.可截質數1分是左或右單邊可截質數,2分是左右雙邊可截質數。
2.性感質數1分是左二元組或右二元組性感質數，性感質數兩分是左右雙向的三元組性感質數中間位置的數字。
3.交換質數兩位數只有一种變化故得分最多是1分, 0分表示非交換質數,三位數有兩种變化故得分最多是兩分,三位數的交換質數比較像是環狀質數的性質。
4. 全循環質數是一种質數倒數循環節位數是P-1的形式，滿足該條件得1分，不滿足者0分。例如7的倒數循環節有6位數，6=7-1。〔素数倒数循环节长度表 (至少一万)_百度知道〕
5. 反質數是反序數也是質數得1分，反序數非質數0分。兩位數的質數反質數與交換質數意義重疊，但是一位數和三位數意義不重疊。
6. <252的梅森質數有3, 7, 31, 127等四個，此四數與可截質數僅3和7有交集，故可截質數的梅森質數得分3和7各得1分，其他的數0分。
7. <252的梅森指數質數有2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127等12個，其中僅3, 7, 13, 17四數與可截質數有交集，故此四數各得1分，其余的數0分。
8. <252的費馬質數只有3, 5, 17三數，僅3和17與可截質數有交集，故此二數的費馬質數得分各1分，其余的數0分。梅森質數前四個，費馬質數前五個是質數，此一現象可以和班佛定律聯想，很多物理定律也有類似情形，理論的侷限性，僅在理想條件下成立，典型質數的理想條件是號數小。
9. 質數有高斯質數(4n+3)和畢達哥拉斯質數(4n+1)兩种類型，畢達哥拉斯質數是可以轉化成直角三角形畢式定理的形式，所以它是+2維的數，與質數理論次元+3/-5不符，應屬非典型質數。畢達哥拉斯質數可以轉化成直角三角形的形式可以理解，∵直角三角形三邊關係屬於二次等式，從平均次元觀點，+2是-0和-3的平均次元，從等差法則觀點，差1是-0維，以等分法則觀點，四倍是-3維，4n+1可以解釋為四倍差1，∴-0和-3維兩兼平均次+2，符合畢達哥拉斯質數是可以轉化成直角三角形畢式定理形式的論述。
高斯質數是典型質數的理由有以下兩方面：
一方面4n+3有差3之意，等差法則的差3和等分法則的3是同樣的涵意，次元屬性-2(3在根維表是±0維的數可以忽略,因0維是隱性次元)；4n的4是四倍，4倍或1/4和分維表的4也是同樣涵意，次元屬性-3(4在根維表是+1維的數也可以忽略,因為+1和-3是四和共生關係相容. √4=2∴4是+2維的數,∵+2是+5/-3的三角共生次元故+2維亦可忽略)，3的-2和4的-3平均次元+3符合質數的理論次元。
再方面高斯質數(4n+3)和畢達哥拉斯質數(4n+1)兩种類型可以和衰變鏈4n+3鋦系和4n+1錼系類比，以衰變鏈原子序落差而言，4n釷系從90號釷232→82號鉛208原子序落差90-82=8，4n+2鈾系從92號鈾238→82號鉛206原子序落差82-92=10，4n+1錼系從93號錼237→81號鉈205原子序落差93-81=12，4n+3鋦系從96號鋦247→82號鉛207原子序落差96-82=14。高斯質數(4n+3)是典型質數，畢達哥拉斯質數(4n+1)是非典型質數(複數乘積型質數)，4n和4n+2是偶數(合數)，對比衰變鏈，4n+3系列衰變鏈原子序落差最大故衰變鏈最長是弱力特徵最強的指標，已知弱力特徵和典型質數特徵是正向關係故4n+1系列衰變鏈原子序落差次大故衰變鏈次長表示弱力特徵次強，對應質數特徵是非典型質數，4n和4n+2系列衰變鏈原子序落差最少故衰變鏈最短表示弱力特徵最弱，對應數理特徵是合數。
七個次級質數可以解釋多數元素的天然衰變，例如銦115β⁻(95.7%)第13族和+3价、13年蟬的羽化周期；砈210α、β⁺(最長命同位素8.1h)第17族、7A族、鎦176β⁻ (2.51% )第17個第六列元素、 17年蟬的羽化周期；銣87β⁻(23.8% )，銣的原子序數37；鎘113β⁻ (12.22% )。
釩的原子序數23，釩50是豐度0.25%的天然衰變同位素，這個和23可能有關係，23的反序數⁵√32=2恰為整數∴23是-5維的數，符合質數次元，因此23具有-5維的數理，釩50的天然衰變除了因為它的原子序數23是三級質數，相信23的-5維數理也有加持效果。
13⁵=371293，反序數392173=17²×23×59，因次冪法則它是-3維的數。17的反序數⁵√71=2.3456，2.3456²=5.50，∴它是根維表介於±4維2. 236和+3維2.45之間的數，平均次元+5/-3，反序數是+5維的數可以認為屬於-5維性質。17是唯一的性感質數五元族，13和17有上述的-5維數理。
(四) 頂級質數2個：
關於Z<92的人造元素或重要同位素核不穩定者，主要集中在周期表第七族的鎝、錸和它的同行元素鉕和錼(錼是人造元素區塊第一個出現的人造元素算是特別不穩定)，還有第七列的元素全部屬於天然放射性。7A鹵族最後一個元素砈，7似乎和核衰變有關。第三族的鑭系元素也出現鈰142(豐度11. 1% )、釹144、145、148、150(四种同位素豐度和43.4% )、釤147~ 149(三种同位素豐度和40.06% ) 都是天然衰退模式，鑭系元素有鈰、釹、鉕、釤等四种元素都有高豐度的天然衰變可以認為和三价態有關，包括銦115的天然貝他衰變也可認為和+3价有關，鉕是61號的人造元素，因為它既是第"三"族(鑭系元素屬於稀土族)元素又是第"七"族的同行元素；錸是第七族元素，它又是第六列第21個元素，21/7= 3，3是它的排序常數。總而言之，原子核不穩定似乎和3、7兩數有密切關係。
一位數可以前面冠0，假設為02, 03, 05, 07等狀態，02(05)的反序數20(50)分維表是-3(-1)維的數，與質數特性不符。無論是六行表或卅行表，質數2和5排在非質數行的第一列，而且2和5(3和7)不是(是)高斯質數，兩數都可以(不能)寫成兩個高斯複數的乘積，2=(1+i)(1-i)，5=(2+i)(2-i)，既是(非)複數合數所以2和(3和7)5屬於非典型(典型)質數。03(07)的反序數30(70)是分維表+3維的數，符合質數的理論次元，穩定區塊的不穩定元素出現頻率最高的就是第3、第7族和第7列元素，3和7不僅僅屬於三級質數而且還有後續描述的种种弱力-5維數理，因此筆者認為3和7有昇級頂級質數的資格。
頂級質數３
03的反序數30，⁵√30=1.9744≒1.9748=(1.9659+1.9836)/2 (賓坦那契數列和希辛那契數列常數的平均值)，賓坦(希辛)那契數列常數屬於五(六)階費氏數列，是五(六)次等式的根，+5和+6的平均次元5.5相當於-5維，換言之，1.9744是-5維的常數，03的反序數⁵√ 是-5維的常數表示3有-5維的數理。30=2×3×5，2×3×5是前三個質數的乘積，30又是分維表+3/-5維的數，反序數是-5維的數也可解釋為3有-5維的數理。3⁸=6561,反序數1656=2³×3²×23，因次冪法則a³×b²×C是-5維的數，3的八次方，它的反序數是-5維的數，因此3兼具-0和-5維雙重性質，-0和-5的平均次元+3，-0是+3/-5維的三角共生次元，此算式符合典型質數的次元模式。
3⁸=6561,反序數⁸√1656=2.5257，接近鉛的M/Z比2.5268或鉈的M/Z比2.5234，天然衰變鏈的最終產物有三個是鉛的同位素，一個(4n+1系列) 是鉈的同位素Tl 205，這樣的結果表示2.5257是一個和弱力相關的常數，因此3的八次方，它的反序數八次方根是和弱力相關常數。加上上段所言3的弱力數理，多方面的証据顯示３是一种頂級質數，和弱力相關。
3在分維表是-2維的數，-2維也不符合質數次元，但是緊鄰的交換質數3和7差4，差4從等差法則觀點是-3維，因此3兼具-2和-3兩种次元平均次元+3符合理論預期。
周期表第3族元素是+3价的鈧、釔和鑭系、錒系元素，鑭系元素有鈰、釹、鉕、釤四元素是高豐度，鎦、釓、鑭三元素是低豐度的天然衰變可以認為和三价態有關，包括銦115的天然貝他衰變(豐度95.7% )也可認為和+3价有關。
鑭系和錒系元素是第3族，+3是鑭系元素的主要氧化態，99號鑀以前的錒系元素最低氧化態是+3，鑭系和錒系元素屬於橫向關係的周期性，橫向關係的原子序數差1，從等差法則觀點，差1是-0維，-0是+3/-5的三角共生次元，前半的鑭系元素和全部的錒系元素都和同位素衰變有關，某數的八次方有意義該數是-0維的數，3⁸=6561,反序數1656=2³×3²×23是-0和-5兩种次元的關係運算模式，數理次元的運算顯示和橫向排列以及同位素衰變的次元屬性一致的結果。
頂級質數７
從鄰近質數的差依循等差法則判斷，7表現的平均次元-3，如圖示：
7³=343，343是回文數，它的反序數³√是原數，所以7是一种立方鏡反數，次元屬性-3，符合上圖的說法。-3維與質數理論次元+3不符，應該還有7的-2維數理才能符合理論預期，7²=49，反序數√94=9.695，根維表9.695是+3維的數，-2維的運算得到+3維的數字，7本身是-3維的數，∵+3是-2和-3的平均次元，∴₋₂⁺³₋₃是三角共生次元關係，平均次元+3，符合7是典型質數的理論預期。
3和7同為頂級質數，3和7差4，差4從等差法則觀點是-3維，公平起見，差4的-3維屬性不僅是3的特性也是7的特性，7的-3維特性上段已經陳述，但是3的-3特性略顯不足，3是-2維強勢，-3維弱勢，7是-2維弱勢，-3維強勢，-2和-3的平均次元+3符合弱力次元，很多情況，-2和-3兩種次元特性是互補的，3和7兩個頂級質數是次元特性互補的一對，這就是筆者的看法。
07的反序數⁵√70=2.339，此數介於根維表±4維的√5和+3維的√6之間，平均次元+5/-3，07的反序數⁵√運算結果得到+5維的數可以認為7有-5維的數理；類似情形，07的反序數70是分維表+3/-5維的數，7有-5維的額外數理因此具備昇級頂級質數的資格。
ℚ.六方密二維結构單位晶格是六角形，頂點有六個原子，加上中心原子，它的基本單元有七個原子，而且六方密有一种3 1 3的最簡約三維晶格，3+1+3=7，上中下三層原子總數也是7，既然7的次元屬性-3，是否可以認為六方密有-3的次元屬性？
𝔸. 一般數字沒有設定前提，比如說7，通常以七個大小均等的狀態看待，适用分維表，7的次元屬性+2，7的次元屬性+2和7平均次元-3的說法不衝突，兩种次元相容；如果量詞本身是不均等的狀態，而且數量≦9則另當別論，此時應該採用n+1法則。單位晶格若是核六方的二維形式外圍原子數占1/3個原子，中心原子數1，若是3 1 3的三維形式是三方棱柱形，每個頂點原子數1/12，中心原子數1/2，頂點原子數與中心原子不均等所以适用n+1法則，n+1法則七個原子+6/-2維符合六方密的理論次元，若七原子以等分法則解釋是+2維不符合六方密的理論次元，若七原子以質數7的次元屬性-3維解釋也不符合六方密的理論次元- 2，所以六方密無- 3次元屬性的道理，同樣的數字7並非一体适用，得視量詞的均等狀況而定。
(五) 頂級弱力偶常數6和次級弱力偶常數28
還有少數重要的天然衰變同位素不是上述七個質數所能解釋的，因此有必要再添加新的高級弱力常數，以下是筆者思路過程：
梅森質數和完全數有對應關係：https://www.youtube.com/watch?v=6HGEaZ8ROeg
所有完全數可以寫成三次等式表示完全數的次元屬性+3，與質數次元屬性一致，只不過完全數是偶數，質數是2除外的奇數，這樣可以解釋為何梅森質數與完全數有一致性，兩种數其實是次元一致的奇偶互補性，以後有機會再解釋。
6在分維表是3/-5維的數，但是根維表6是+5/-3維的數，與弱力次元並不符合，這個不打緊，因為6²=36，反序數√63=7.937，根維表7.937是+2維的數，上述運算是-2維的運算模式，結果有意義表示6是-2維的數，-2和-3的平均次元+3符合弱力次元，因此筆者認為6是一种頂級偶弱力常數。
鍅是穩定元素區塊的不穩定元素，它的數理很難用七個次級質數解釋，只有鍅的周期表列數7符合頂級質數7的原則，只有一項，理由薄弱。鍅是正電性最高的金屬元素，失去一個電子的傾向极端強烈，失去一個電子的鍅變成氡的電子組態，氡是周期表第六列元素，因此鍅是游走在周期表第六和第七列元素之間的位置，6是頂級弱力偶常數，7是頂級質數，這樣可以解釋為何鍅是不穩定元素。
鉍 釙 氡三元素有100%的天然衰變也是很難用七個次級質數解釋，鈰 釹 釤三元素固然有三价態的3是頂級質數可以解釋它們11~ 40%豐度的天然衰變，但是單項理由薄弱，它們都屬第六列元素，6是頂級弱力偶常數，若有這個理由加持，那麼這六個穩定元素區塊的天然衰變同位素便能得到解釋。
28似乎具備次級弱力偶常數的資格，因為完全數與梅森質數同樣偏愛小號數，28是號數次小的弱力偶常數，例如天然衰變鏈四個系列，其中就有三個系列衰變最終產物是鉛，只有錼(4n+1)系列例外，衰變最終產物是鉈205。鉛在第六列元素的排序是28，第六列的6和28是頂級和次級弱力偶常數，這樣可以解釋為何鉛是衰變鏈最終產物。主帶小行星日距在2.8AU附近數量最密集，体積最大的小行星也是在此集中，2.8AU換算波德定律的日距R值就是28，波德定律主帶小行星的n=3表示+3維。
費根鮑姆第一常數4.6692是描述關於混沌與碎形的常數，此值若當作小行星公轉周期年數，換算日距AU是¹·⁵√4.6692=2.7936≒2.8(主帶小行星平均日距AU)，似乎在暗示主帶小行星有混沌和碎形特性，事實亦然，小行星是碎形狀態，至於混沌可以彗星群來解釋，星族彗星以木星族為最大宗，木星族彗是以彗星遠日點在木星軌道附近為定義，木星族彗星若以彗星的平均距离或以周期歸類，它們其實應該歸類為主帶小行星族，所以主帶小行星日距附近不僅有碎形也有混沌物質，混沌與碎形是一种-5維的形狀，這是筆者看法，以後有機會再解釋，-5的八和共生次元+3可以滿足弱力的次元要求。
【第貳節】不穩定天然同位素的弱力次元解釋十七例
本文就四個詭譎人造元素和十三個穩定元素區塊的天然衰變同位素提出它的弱力數理解釋，筆者認為弱力衰變現象可以有自然正整數的數理解釋，弱力常數又分為奇數和偶數，本文引用的弱力質數和弱力偶常數請參考質數四論/第四章 典型質數，本文僅就上述結論舉例說明。
以下就四個詭譎人造元素和十三個天然衰變同位素按照豐度大小順序引用頂級質數、頂級弱力偶常數和次級質數解釋它的衰變特性。
𝟙.鉕(100%)
同位素弱力次元的三點理由：
(一)鉕有出現兩個頂級質數，一個頂級弱力常數；价態+3和泛族序7是頂級質數，所謂"泛族序"意指廣義的族，包括族的所有同行元素，鉕是第七族的同行元素。鉕的列序"6"是偶弱力頂級常數，頂級質數和常數集結可以解釋為何鉕是詭譎的弱力元素。
本文第壹章/第四節 頂級質數7 有謂7是一种平均次元-3的頂級質數，因為弱力次元以正值而言是平均次元+3，+3是-2和-3的平均次元，7的次元屬性-3，3在分維表是-2維的數，它又是頂級質數，3很有資格和7搭配創造平均次元+3的弱力次元，至於3在根維表是±0維的數可以忽略，因為０次元是隱性次元。鉕价態+3和泛族序7就是兩個頂級質數互補次元的弱力組合。
(二)⁵√77=2.384，2.384×61=145.42，此數介於145和146之間，比較接近145，¹⁴⁵鉕是鉕的最長命同位素，¹⁴⁶鉕是鉕的次長命同位素，∴鉕的(Ma/Z)⁵=77，77是回文數，它的反序數⁵√是原數，因此鉕是-5維的數，符合弱力的次元屬性。
(三)鉕的原子序數61，61和右鄰質數67排序差6，差6是-5維符合弱力次元；61和左鄰質數59排序差2，差2是-1維，一方面-1是+3/-5的四和共生次元相容，再方面61在分維是±4維的數，61的反序數⁴√16=2，∴61是-4維的數，-4和-1的平均次元+3，符合弱力次元。
鉕145是EC衰變，輻維法則EC是-0維，此特性可以鉕的+3价態解釋，3的- 0維數理在 (四)頂級質數/頂級質數3 一節已經討論不再贅述。
𝟚.鎝(100%)
鎝是穩定元素群的不穩定元素可以解釋為鎝的最高氧化態+7，7也是它的行排序。鎝有+3价但是並非重要氧化態，鎝是六方密晶格，六方密的二維晶格單元是核六方7原子的結构，核六方單位晶格原子數3，六方密的二維晶格也有一种最簡約的形式是三方緊密結构，等邊三角形是三原子結构。類似元素鉕，鎝兼具7和3兩個次元互補的頂級質數數理所以和弱力強相關，是不穩定元素。
六方密是等邊六角形，ABA三層單位晶格原子數也是6，顧名思義六等分從等分法則(或分維表)觀點是-5維，符合弱力次元，而且6是頂級弱力偶常數，這樣可以解釋為何鎝是穩定元素區塊的不穩定元素。
六方密是上層7原子，中層3原子，下層7原子的結构，晶格單元原子總數7+3+7=17，17是次級質數所以也和弱力有關。分維表17是±0維的故可以忽略，因為±0維是隱性次元。
97是殿級質數，這樣可以解釋為何鎝97是鎝的三种長命衰變同位素其中一种，鎝97是EC衰變，EC是- 0維，可能是因為97在分維是±0維數的緣故。
鎝98M/Z比98/43=2.279，2.279⁵=61.49≒61.5，分維表61是±4維的數，62是+3維，61.5介於兩者之間所以是+5/-3維的數，鎝98M/Z比的五次方是+5維的數可以認為此數是-5維的數，符合弱力次元，這樣可以解釋為何鎝98是鎝的三种長命同位素之一。
鎝99 N/Z比1.3023，1.3023⁵=3.746≒3.742(根維表+3維的數)，這樣可以解釋為何鎝99是鎝的三种長命同位素之一。鎝99 M/N比1.7679，1.7679⁵=17.27≒17.25，分維表17是±0維的數，18是-1維的數，17.5介於兩數之間是+1維的數，17. 25介於17和17. 25之間是-0維的數，1.7679⁵是-5維的算法得到-0維的數，-0和-5的乎均次元+3符合弱力次元。
鎝的最長命同位素鎝98和季長命同位素鎝99都是β⁻伴隨γ的衰變模式，從輻維法則觀點，β⁻衰變-3維，γ(IT)衰變-2維，-2和-3維的平均次元+3維，+3維的八和共生次元-5維，-5維是弱力次元故β⁻伴隨γ的衰變模式屬於弱力衰變模式。
鎝是人造元素，所有同位素都不穩定就是衰變的特性，衰變是弱力的典型特徵，鎝的行列次元平均值+3/-5，+3/-5是一种弱力次元正好可以解釋為何鎝是人造元素，+3/-5的行列平均次元和人造元素之間雖非必然的因果關係，但是次元符合确有加分效果。
𝟛.砈(100%)
同位素弱力次元的四點理由：
(一) . 就頂級質數而言，砈是鹵族的同行元素，+7价在鹵族下方元素趨於安定。6是偶頂級常數，砈是周期表第六列元素符合6的條件。
(二) . 砈是第17族元素，砈又是7A族的同行元素，7是頂級質數，17是三級質數，兩個質數集結可以解釋為何砈是一种弱力元素。7的數理-3維，與理想衰變模式平均次元+3有落差，應有-2維的數理支援，-2維的數理來自兩方面：
(1) .砈的最長命同位素砈210，210²=44100，反序數√144=012∴210也是平方鏡反數-2維。砈的次長命同位素砈211，211²=44521，反序數√12544=112，∴211又是平方鏡反數-2維。
(2) . 17和左近鄰13差4，和右近鄰19差2，近鄰優先處理，差數平均值3，差3是-2維，此-2維和頂級質數7的-3維恰好互補，平均次元+3符合弱力次元。17的左遠鄰質數11和右遠鄰質數23都是差6，符合弱力次元就不必討論了。砈是7和17的搭配，情形類似鎝。
(三) . 210=2×3×5×7，2、3、5、7恰好是前四個質數，根據質數三論/質數的次元屬性 一文的主張，質數的次元屬性+3/-5，前四個質數的乘積是210，根據本文第二章/弱力偶數的說法，210屬於偶高級弱乃常數。砈沒有任何安定同位素，砈210是相對安定的不穩定同位素，半衰期8. 1h。原子量210可以當作不穩定元素奇號連續的起始點，質量數210以後的元素若逢奇原子序數會開始出現不穩定的同位素，例如85號的砈、87號的鈁、89號的錒、91號的鏷、93號的錼、95號的鋂. . . 。
(四) .²¹⁰砈是砈的最長命同位素，α和β⁺衰變，從輻維法則觀點，α是-1維，β⁺ 衰變-5維，-1和-5維的平均次元-3維。²¹¹砈是砈的次長命同位素，α和EC衰變，EC是-0維，α是-1維，-0和-1維的平均次元+1維，-3維是最長命同位素的平均次元，它的八和共生次元+ 5維，+1維是次長命同位素的平均次元，所以+1和+5維的平均次元+3維是弱力次元符合砈是弱力元素的預期。
砈的最長命同位素²¹⁰砈中子數125，∛125=5，表示125是+3維的數，砈的次長命同位素²¹¹砈中子數126，126在分維表是+3維的數。根据次元空間理論/數學篇/質數三論/質數的次元屬性 一文的主張，質數有次元屬性+3/-5維的傾向，那是多數質數的次元屬性，個別質數的次元屬性仍有差異需要個別討論。
𝟜.鍅(100%)
₈₇鍅是本章討論的四元素當中最不穩定的人造元素，最長命同位素半衰期僅22分鐘，鍅是弱力+3/-5維的理由有以下六點：
(一)鍅是正電性极強金屬，容易失去一個電子形成氡的電子組態，氡是第六列第0行元素，行列次元平均值3，+3恰好符合弱力次元，這樣可以解釋為何鍅是不穩定元素。
(二)鍅是正電性最高的金屬元素，失去一個電子的傾向极端強烈，失去一個電子的鍅變成氡的電子組態，氡是周期表第六列元素，因此鍅是游走在周期表第六和第七列元素之間的位置，6是偶頂級質數，7是頂級質數，這樣可以解釋為何鍅是不穩定元素。 質量數223是質數，但是它的原子序數87、中子數136都是合數，不具備質數集結的條件，可是換個角度思考，鍅的原子序數是以87-1=86比較安定，223-86=137，137是季級質數，那麼鍅的中子數137和質量數223符合質數集結的條件。按照常規想法，鍅223的中子數136不符合弱力常數137，考慮到它的正電性可以認為鍅223的中子數有137的傾向，所以鍅是弱力元素可以解釋為它和季級質數137有搭配的緣故，季級質數也是弱力常數。
(三)鍅的M/Z比2.5649⁵=111，111的反序數⁵√111=2.5649∴2.5649是-5維的數，2.5649×87=223.15≒223(鍅的最長命同位素質量數)，-5的八和共生次元+3，這樣可以說明鍅的主要同位素次元屬性+3/-5，滿足弱力次元所以它是弱力元素。
(四)鍅的最長命同位素²²³鍅半衰期21.8分，α β⁻衰變，α -1維, β⁻ -3維，平均次元-2維，鍅的次長命同位素²²²鍅β⁻半衰期14.2分，β⁻衰變-3維，-2和-3維的平均次元+3維符合弱力次元。
(五)鍅223屬於衰變鏈4n+3系的一環，4×55+3= 223，元素的衰變鏈有4n、4n+1、4n+2、4n+3四個系列，4n+3系列是衰變鏈最長的系列，總共經歷十七次衰變，即使報告最完整的維基百科4n+3系列也是從鈽239開始，漏失前面五個步驟：鋂247β⁻22m→鋦247α1.56×10⁷y→鈽243β⁻~ 5h→鋂243α7,370y→錼239 β⁻ ~ 2.4d→鈽239α2.411×10⁴y，4n系列十一個步驟，4n+2系列和4n+1系列同樣十五個步驟。4n+3系列衰變鏈步驟最長，其他系列衰變鏈步驟較短。
本文第壹章/第三節 次級質數/表格說明第9點 高斯質數是滿足4n+3的條件與衰變鏈鋦系的原子量條件完全一致，鋦系(4n+3系列)不僅是衰變鍵母核种和最終產物原子序落差最大(14)的衰變鏈又是衰變鏈步驟最長(十七步)的結果一致。鍅223屬於衰變鏈4n+3系，無論從衰變鏈長度的觀點或高斯質數觀點，4n+3系列是最典型的衰變鏈，因此它與弱力相關強度最高，間接舉証鍅223的弱力衰變數理。
(六)弱力有-5維的特性，-5維形狀的解釋是籠球复層，137是精細結构常數也是弱力常數，137=62+44+30+1，62是六角化廿面体或四角六十面體的頂點數，44是台灣大哥大標識的頂點數，30是截半廿面体的頂點數，1是复層多面体的核心，失去一個電子的鍅最長命同位素²²³鍅中子數137是季級質數，符合弱力常數的資格所以是容易衰變的不穩定元素。
想像中的籠球复層結构是1+ 12+ 20+ 44+ 60= 137，1是中心原子、內核12是廿面体的12個頂點，外核20是十二面体的20個頂點，44是地函層六角化五角化截角三角化四面体(台灣大哥大註冊商標)的頂點數，60是外殼足球形的頂點數。或者1+ 12+ 32+ 92= 137，32是五角化十二面体(网格球形,足球形的對偶)的頂點數，92是五角六十面体的頂點數。
籠球复層從共构法則的觀點是-5維，包含球心共有137個點，弱力的次元屬性+3/-5維，共构法則籠球复層是-5維的形狀，故弱力的相關常數137可以多面体的籠球复層結构來解釋〔參考本文第壹節/精細結构常數/甲項第4點〕。
𝟝.鉍(100%)
鉍是83號元素，連續出現的天然衰變元素，它是第一個豐度100%的天然同位素，故有弱力次元的重要意義。
一. 鉍是第六列元素，6是頂級弱力常數。
二. +3价是鉍的重要氧化態，3是頂級質數。
三. 鉍的M/Z比208.98/83=2.5178，2.5178≒2.5169，2.5169⁵=101，101是回文數，它的反序數⁵√是原數，因此2.5169是-5維的數，符合弱力次元。
𝟞.銦(95.7%)
+3是銦的主要氧化態，3是頂級質數，13是銦的族序，13是七個次級質數其中之一，這是銦天然衰變的重要數理因素。銦是面心立方晶格，面心立方和六方密的配位數同為12，但是有差異，六方密是核六方上方是三方配置的三個原子，下方對齊位置也是三個原子，面心立方是上方三原子和下方三原子交錯不對齊，面心立方配位數12加上中心1個原子總數13，13其實是一种有核的截半立方体，屬於阿基米德多面体，12個頂點的多面体共构法則歸類是+5/-3維，可以這麼理解，-3維是一种三維對稱的形狀。
面心立方配位數和中心原子總數13恰好是銦的族序，13是一种-3維的數理，3在分維表是-2維的數，3在根維表是±0維的數，±0維隱性可以忽略，那麼3的-2維和13的-3維平均次元+3符合弱力次元，這樣可以解釋為何銦有高豐度的天然衰變。
13的左鄰質數11，兩數差2，13的右鄰質數17，兩數差4，近鄰質數差數平均值3屬於-2維，與13是平方鏡反數的數理次元一致。13和左次鄰質數7的差值6，13和右次鄰質數19的差值也是6，差6是-5維符合13是三級質數的弱力次元。13與17兩個質數從近鄰和次鄰質數的表現是一致的，兩者都是-2維，這樣的結果並不符合理論預期，推想可能有數理次元的干擾。
因為13的反序數∛31=3.1414≒π∴13是-3維的數，13在分維表又是-4維的數，13兼具-2、-3、-4三种次元性質因此平均次元-3；銦的氧化態+3是-2維的數，13是-3維的數，-2和-3的平均次元+3正好是弱力次元，這樣可以解釋為何銦有高豐度的天然衰變模式。
銦115M/ Z比114.9/49 = 2.3449，N/Z比1.3449，1.3449⁵=4.4，4.4是回文數，它的反序數⁵√是原數，因此1.3449是-5維的數，1.3449是銦115的Ｎ/ Z比，這樣可以解釋銦115的弱力性質。
銦115是β⁻衰變，β⁻是 -3維，可能是反應銦的行列次元+5/-3的緣故。
𝟟.錸(62.6%)
錸是第七族第六列元素，7是頂級質數，6是唯一的弱力頂級偶常數。錸是第六列第21個元素，所以它的排序常數21/7=3，3也是頂級質數，頂級質數僅3和7兩個。錸和同族的鎝同屬六方密晶格，六方密也是和弱力相關的一种晶格形狀，它兼具3、6、7三种頂級常數的數理，理由在本文第2項鎝首段有說明。所以錸囊括所有頂級質數或常數數理，這樣可以解釋錸為何是不穩定元素。
錸的不穩定同位素是錸187，β⁻衰變，β⁻衰變次元屬性- 3，可以錸的行列平均次元-3來解釋。問題是為何是錸187β⁻衰變，不是錸185β⁻衰變？
錸187M/Z比186.956/75=2.4927，2.4927⁵=96.25≒95.16(土星質量的地球倍數)≒95.55(土星日距)，某數的五次方有意義，該數是-5維，某數的⁵√有意義，該數是+5維，土星在波德定律的理論次元+5維，它的質量或日距的⁵√是錸M/Z比，故此一數理關係同時滿足土星的+5維和錸的-5維雙重特性，因為錸187M/Z比滿足上述理論需求所以β⁻衰變發生在錸187不是錸185。
𝟠.釤(40.06%)
釤是第六列的+3价元素，3是頂級質數，6是弱力頂級偶常數，而且釤是第六列第八個元素，∛8=2，2恰好是釤的另一种氧化態，2又是季級質數，∛有意義是+3維特性，屬於弱力次元。釤是第六列第0行元素，行列平均次元又是+3，上述种种因素表明釤具備弱力元素的數理性質。
40.06%是三种同位素豐度和，三种同位素豐度差異不大而且連號，因此按照豐度百分比計算三者的質量數平均值是147.99，相當於三連號中間值同位素的質量數，釤148M/Z比2.3871，2.3871⁵=77.51，分維表77是±4維的數，78是-5維的數，77.51介於兩數之間應屬+5維的數，釤148M/Z比的五次方是+5維的數表示它是 -5維的數，符合弱力次元。
𝟡.銣(27.83%)
本文討論的所有不穩定同位素，每一項至少有一個頂級弱力常數的解釋，銣的情形亦然，銣出現不穩定天然同位素可以認為和体心立方晶格有關，体心立方是立方體有六個平面，假定每個平面是金字
塔形的底部，那麼金字塔的頂部是体心立方的中心，每個立方體都可以分割成六個金字塔形，每個金字塔共用一個体心立方的中心點，立方體可以六等分的性質從等分法則觀點是-5維，符合弱力次元，6也是唯一的頂級弱力偶常數。
体心立方的頂級弱力常數6和天然衰變有關還有另外兩例可循，一是釩的体心立方晶格可以解釋釩50的天然衰變，另一個是鉀的体心立方晶格可以解釋鉀40的天然衰變，鉀40的天然衰變豐度太低不在
本文討論范圍，鈁是鹼族的人造元素可能有類似鹼族的体心立方晶格但是人造元素難以舉証。
銣的天然衰變同位素是銣87，銣87 N/Z比(86.91-37)/37=1.3489，1.3489⁵=4.466≒4.472(根維表+5/-3維的數)，此算式有意義，即1.3489是-5維的數故呈現弱力的衰變特性。(86.986-37)/37=1.351，1.351⁵=4.50，86.986≒87(銣的天然衰變同位素質量數整數值)，4.5可以銣的列排序解釋，銣是第五列第一個元素，它失去一個電子的傾向強烈，變成氪的電子組態，氪是第四列最後一個元素，所以銣的化學性質介於第四和第五列元素之間，平均值4.5，1.351⁵=4.50表示1.351是-5維的數，這樣可以解釋銣87的弱力衰變特性。
+1价的銣具備氪的電子組態，氪的原子序數36，取其反序數⁵√63=2.290，2.290(M/Z比)×38(鍶的原子序數)=87.02≒87(銣天然衰變同位素質量數)，銣87天然β⁻衰變形成鍶87，故鍶87的M/Z比2.290對於銣而言有意義，上述關係式是銣87次元屬性-5的另一個証据。
銣87M/Z比2.3489，2.3489³=12.96≒13，13的反序數∛31=3.1414≒π，這是一种-3維的運算模式，結果有意義表示銣87M/Z比是 -3維的數，符合銣87β⁻衰變次元屬性 -3的特質。筆者看法，所有的衰變形式次元屬性均屬-5，這是背景次元，各別形式的衰變有它的專屬次元，-3是前景次元，-5是背景次元，銣的行列平均次元-2，β⁻衰變次元屬性-3的出現可以創造平均次元+3，+3的八和共生次元-5，符合弱力次元。而且因為負次元具有對稱性，-5(-3)維可以解讀為主次元是-5(-3)的±5(±3)維，-5和-3是兩种相容次元，所以銣87出現某些-5維特性也出現某些-3維特性。
𝟙𝟘.釹(23.8%)
釹是第六列第六個元素，連續出現兩個6，6是唯一的弱力頂級偶常數，釹又是+3价元素，3是頂級質數。釹是核六方晶格，核六方晶格的二維結构與六方密完全一致，僅二維平面在三維空間的堆積方式不同，二維核六方也是有3和6的頂級常數數理，所以釹出現高豐度的天然衰變同位素可以得到解釋。
至於釹144的α衰變可以從兩方面解釋：
一方面因為釹原子序數60和它的列排序06是反序數關係，反序數是回文數屬於鏡像對稱性質次元屬性-1，-1維正好是α衰變的次元屬性。
再方面釹144 N/Z比1.4≒1.414(根維表-1維的數)，144=12，∴144是+2維的數，分維表144是+1維的數，-1是+1和+2的平均次元，⁺¹₋₁⁺²是三角共生的次元關係，這樣可以解釋釹144的弱力形式為何是α衰變。
𝟙𝟙.鎘(12.22%)
一.鎘是六方密晶格，六方密是和弱力相關的一种晶格形狀，它兼具3、6兩种頂級常數的數理，理由在本文第2項鎝首段有說明。
二.113是七個次級質數其中一個，例如鎘113有豐度12.22%的天然衰變，可以113是弱力次級質數來解釋。
三.鎘113是鎘的天然同位素其中一种，鎘的行列平均次元+3/-5，符合弱力次元，因此鎘113有天然衰變可以認為受到鎘的行列次元是弱力次元的影響。
四.113²=12769，反序數√96721=311，∴113是平方鏡反數-2維；113³=1442897，反序數7982441=829×9629，它是a×b類型，因次冪法則屬於-2維的數，某數立方是-3維的算式，-3維的算式得到-2維的結果表示-2和-3維兩兼，平均次元+3，113²和113³分別表示-2和-3維的算法，兩种算式的結果或有意義或和平均次元+3正相關，表示符合弱力次元。
五.鎘113有兩种衰變模式，113m是β⁻和IT，IT -2維，β⁻-3維，平均次元+3/-5；鎘113是β⁻，β⁻ +5/-3維，因此整合次元是±5維⇔-5維，符合弱力次元。原則上113或113m兩种衰變模式何者是主次元何者是副次元並不清楚，因此會有另一种結果是整合次元±3維⇔-3維，假定整合次元-3其實有簡單的表達方式是僅有一种同位素β⁻衰變，事實上有兩种同位素共三种衰變模式，這种迂迴的次元表達模式應該解釋為整合次元±5維⇔-5維。
𝟙𝟚.鈰(11.1%)
一.鈰是第六列元素，6是頂級弱力偶常數。
二.鈰有+3价態，它又是面心立方晶格，如同銦的情形，3是-2維的數，面心立方有一种配位數12類似球緊密帶核截半立方體的結构，頂點12+1(核)=13，13是-3維的數理在本章第6節 銦 一文已經討論，3的-2維和13的-3維平均次元+3符合弱力次元，這樣可以解釋鈰為何出現不穩定天然同位素。
三.鈰142有豐度11.1%的天然衰變，因為鈰142 M/Z比142/58=2.4483≒2.4495(根維表+3/-5維的數)。
四.∜4.4=1.4483(鈰142N/Z比)，1.4483的四次方是回文數，∴1.4483是-4維的數，鈰142 N/Z比是-4維的數，鈰142M/N比又是-1維的數，-1和-4的平均次元+3符合弱力次元，這樣可以解釋鈰142的弱力衰變模式。
五.鈰142是α衰變，次元屬性-1，因為鈰142的M/N比1.6904≒1.691=⁷√39.54(冥王星平均日距的⁷√)，+7的八和共生次元-1，故1.691可以解釋為它是-1維的常數，鈰是打火機火石的主要原料，是一种易燃金屬，次元空間理論/化學篇/活維法則 主張燃燒的次元屬性-1，易燃金屬應屬-1維特性, 這樣的推論符合鈰142的α衰變特性，鈰有+4价，04的反序數40恰好是鈰的同行元素鋯的原子序數，反序數就是一种-1維的次元模式。
𝟙𝟛.鎦(2.51%)
一.鎦是六方密晶格，六方密是和弱力相關的一种晶格形狀，它兼具3、6兩种頂級常數的數理，理由在本文第2節 鎝/首段 有說明。
二.鎦是第六列元素，6是頂級弱力偶常數。
三.鎦僅一种氧化態是+3，3是-2維的頂級質數，六方密也有3的-2維數理，按照一般模式應有-3維的數理和它搭配才能形成弱力次元，-3維的數理可能來自鎦176的M/N比176/(176-71)=1.6762，1.6762³=4.709≒4.690(根維表+3維的數)，鎦176的M/N比立方有意義表示它是-3維的數，鎦176的-3維數理除了輔助弱力次元的功能，也能符合它本身β⁻衰變次元屬性-3的事實。
四.鎦在第六列的排序是第17個元素，17是次級質數，本文第3節 砈/第二項/第2點有說明17的次元屬性-2，和3的次元屬性一致，並無輔助弱力次元的功能。
𝟙𝟜.碲(0.905%)
一. +6是碲的重要氧化態，6是頂級弱力偶常數。
二. 碲123有豐度0.905%的EC衰變，∵它的M/Z比123/52=2.3654，2.3654⁵=74.05≒74，反序數⁸√47=1.6181≒φ黃金比，某數的五次方，它的⁸√反序數有意義，表示某數兼具-0和-5維雙重性質，EC衰變次元屬性-0，所有衰變都有背景次元-5，因此EC衰變和- 0、-5兩兼的次元屬性符合。碲的原子序數52，∛52=3.7325≒3.7417(根維表+3/-5維的數)，₋₀⁺³₋₅是三角共生的次元關係，因此有意義。
三. 碲的原子序數52，52的反序數√25=5，∴52是-2維的數；52在分維表是-3維的數，-2和-3的平均次元+3，52又有上段描述的+3維特性，因此₋₂⁺³₋₃又是一組三角共生的次元關係，平均次元+3符合弱力次元。
𝟙𝟝.釩(0.25%)
釩50是豐度0.25%的β⁺、β⁻衰變，β⁺是-5維，釩50 -5維的理由有以下四點：
一.釩是体心立方晶格，体心立方是六個金字塔形拼湊的形狀(理由參考第9節銣)， 6是頂級弱力偶常數。
二.因釩的原子序數23是次級質數，而且23的反序數⁵√32=2，∴23是-5維的數。
三.23.00000214⁵=6436346，此數是回文數，因此23是-5維的數，形式上23.00000214≠23，但是實際上兩者誤差极微可以忽略。
四.釩50的中子數27，∛27=3∴27是+3維的數，符合弱力次元。
釩50另一种衰變模式是β⁻，β⁻衰變次元屬性-3，有以下兩點理由顯示釩有-3維的數理：一方面釩的行列平均次元-3。再方面2178×4= 8712，2.178的反序數871.2/4=217.8，217.8是像
2.718的數，兩者是百倍關係，百倍是十進位關係屬於-1維，若能舉証釩有-1維的數理則以上關係可以确立，釩的最高氧化態+5，05的反序數50恰好是釩天然衰變同位素的原子量，因
此-1維關係成立，故2.178的反序數871.2/4=217.8，217.8是像2.718的數有意義，四倍關係從分維表觀點是-3維，因此釩至少有上述兩點-3維的理由。這樣可以解釋釩50的β⁻衰變模式。
𝟙𝟞.鉿(0.162%)
一.鉿是第六列元素，6是頂級弱力偶常數。
二.鉿是六方密晶格，六方密是和弱力相關的一种晶格形狀，它兼具3、6兩种頂級常數的數理，理由在本文第2節 鎝 首段有說明。
三.鉿174有豐度0.162%的天然衰變，因鉿174的中子數102，102²=10404，反序數√40401=201，∴102是平方鏡反數-2維的數；鉿的原子序數72，反序數∛27=3，∴72是-3維的數，鉿兼具上述-2和-3維的數理平均次元+3符合弱力次元，這樣可以解釋為何鉿有微量的天然衰變。
𝟙𝟟.鑭(0.09%)
鑭是第六列元素，6是唯一的弱力頂級偶常數，鑭又是+3价元素，3是頂級質數。鑭是核六方晶格，核六方晶格的二維結构與六方密完全一致，僅二維平面在三維空間的堆積方式不同，二維核六方也是有3和6的頂級常數數理，所以鑭出現天然衰變同位素可以得到解釋，釹的天然衰變同位素豐度高，鑭的豐度低可能和釹有行排序6加持，鑭無行排序6加持有關。
鑭的行列平均次元+3/-5，屬於弱力次元，相信有助於天然衰變同位素的形成，例如鎦是71號的+3价元素，可以安置在第3族第六列的位置，這個位置和鑭的行列平均次元一致都是+3，因此鎦也出現豐度2.51%的天然衰變。
鑭138是豐度0.09%的天然衰變，所以衰變發生在鑭138有三种解釋：
〔一方面〕因為鑭138的中子數81，任意兩位數和它的反序數之差，大數減小數，ab-ba其值不外乎①09 ②18(=9×2) ③27(=9×3) ④36(=9×4) ⑤45(=9×5) ⑥54(=9×6) ⑦63(=9×7) ⑧72(=9×8)⑨81(=9×9) ⑩90(=9×10)以上十种結果，差是兩位數者，個位數和十位數的和是9，因為一次元計算式是和或差的計算，從負維法則的觀點，"和"是增加屬於正值，"差"是減少屬於負值，∴以上十個數字應屬-1維的數，81是其中之一理應屬於- 1維。
三位數和它的反序數之差在 次元空間理論/天文篇/行星日距的波德定律n值解釋/原生行星/10號冥王星/第貳節/甲項/第二點 有相關論述，三位數和它的反序數之差适用冥王星，冥王星日距理論次元-1，同理可推兩位數和它的反序數之差亦屬-1維。∜81=3∴81是+4維的數，上段的結論，81是-1維的數，因此81兼±4和+7/-1兩种次元特性，平均次元5.5相當於+3/-5維。
〔再方面〕138=2×3×23，從因次冪法則觀點它是a×b×C類型，次元屬性-3，其實不然，可被2整除的數是-1維，例如6或46，138=6×23=46×3，-1維的數再乘以另一個數它的次元屬性應是-2，這樣的想法和因次冪法則的結果不符，筆者看法，<9的數不超過一個八冪律循環周期可能會有雙重角色，等分法則亦适用，例如可被2(3)整除的數是-1(-2)維. . . 依此類推，所以138=2×3×23次元屬性有-2和-3兩种解讀，不妨兩种次元的解讀均採用，它的平均次元+3符合弱力次元，138=6×23，可被6整數的數應屬-5維，-5的八和共生次元+3，+3又符合-2和-3兩种解讀的平均次元。
〔三方面〕真因子和數列有以下5种結果：(1).大多數正整數的真因子和數經過數次運算通常以1結束。(2). 25和95的真因子和數以6結束。(3).完全數例如6、28、496的真因子和數是它自身。(4).親和數220 [284]的真因子和數是284 [220]。(5).1000以內有五數276, 552, 564, 660, 966真因子和數運算未能得到收斂的結果。
https://www.youtube.com/watch?v=OtYKDzXwDEE&t=196s這支影片8:49~9:46談到138的真因子和數經過約132次運算以ｌ結束，在第117次運算時真因子和達到約1800億，相信所有特殊的真因子和數都是和完全數一致的次元屬性+3/-5。
第5种結果數值超出殿級質數<252的范圍所以不在討論范圍。第4种結果是親和數，對稱性的次元屬性-1亦超出本文主題故從略。第3种結果是完全數，本文第壹章/第五節 頂級弱力偶常數6和次級弱力偶常數28已經討論不再重复。以下討論第1和第2种結果1、6、25、95四數和138等五個和完全數相關的數字。
分維表1是±0維的數，6是+3/-5維的數，-0和-5的平均次元+3，+3的八和共生次元-5，因此真因子和數的運算以1或6結尾的情形很容易解釋。√25=5 ∴25是+2維的數，25的反序數∜52=2.6853≒2.6854(辛欽常數)，25.00002765⁵=9765679，此數是回文數∴25.00002765是-5維的數，25.00002765≒25，因此可以認為25是-5維的數，25的反序數∜有意義，∴它是-4維的數，25的五次方是回文數，∴它又是-5維的數，25的√恰為整數，∴它也是+2/-6維的數，-4、-5、-6的平均次元-5，符合弱力的平均次元+3/-5，這樣可以解釋為何25和真因子和數有關。
95在分維表是+2/-6維的數，95能被5整除，五等分從等分法則觀點是-4維，95的真因子和數以6結束，6是頂級弱力偶常數，次元屬性+3/-5，95和6的真因子和數表現的次元屬性有-4、-5、-6三种，平均次元-5，符合弱力次元。若以正次元觀點，∜95=3. 122，3.122²=9.75，3.122在√9和√10之間接近√10的1/4處數值，√9是±0維的數，√10是-1維的數，-0和-1的平均次元+1，相當於√9.5的值，+1和+7/-1的平均次元+4，相當於√9.75的值，∴3.122在根維表是+4維的數，∜95=3.122(+4維的數)表示95是+4維的數故其∜有意義。
95在分維表是+2維的數，∜95有意義又顯示它有+4維特性，95的真因子和數以6結束，6是頂級弱力偶常數，次元屬性+3，+2、+3、+4的平均次元+3符合弱力平均次元。同理，25是-5維數的理由若有不足之處可以25的真因子和數同樣以6結束，6是頂級弱力偶常數，次元屬性+3/-5可以補強。
以上講了六段都是為了鑭138的第三种解釋鋪路，交代138來源並且說明和138同時出現的幾個弱力常數數理，以下是關於138的弱力常數數理：
138出現在真因子和數運算的影片報告，可見138也是一种弱力偶常數，137是24個季級質數其中之一，137是精細結构常數α的倒數，光速大约是氢原子中基态电子绕核速度的137倍。次元空間理論/七种作用力的整合/弱力 一文主張電子是弱力費米子，光子是弱力玻色子，光子是一种"電磁交互作用力"觀點不正确，應該解釋為光子是"磁電交互作用力"，作用力的主角是磁力而非電力，典型的電磁力其實是質子引導的力，有導体作為介質，光子無需介質即能傳播應屬"磁電力"，磁電力是磁場為主角的作用力，磁性筆者的歸類，它的次元屬性-5，應屬弱力，電場在弱力中亦存在但是僅為配角。
137是季級質數所以也是一种弱力常數，138是一种偶弱力常數，137和138兩個弱力常數有奇偶配的連號關係所以和弱力強相關，可以合併解讀，例如衰變鏈4n+3系列中子數137(釷227)、138(錒227) 兩數都有出現，所以衰變鏈步驟最長；其他系列中子數只出現138或只出現137，所以衰變鏈步驟較短。鑭138是豐度0.09%的天然衰變也能得到解釋。
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